小波分析

  小波分析是我在博士期间课外研究学习中花费的功夫比较多的一个方向,这也是一门包含了傅里叶分析、实变函数分析、泛函分析、抽象代数等诸多内容的学科——这也是我去学习它的最重要原因——多门数学学科知识的融会贯通。我一共完整阅读的书目(包括阅读大部分章节)不下5本,还有大量网上的论坛和科普文章,并总结了一套我认为的最“无痛”地去理解小波分析的学习过程,现在我将呈现在这里。

  小波分析作为很重要的工具,中文网站上的资料非常稀少,而且质量参差不齐。在这个专栏下,我会由浅入深地介绍小波分析的方方面面,从函数空间、加窗傅里叶变换、多分辨分析,到小波包、小波与采样的关系、二维小波等,构建一个比较全面和通俗的讲解体系,和国内外课本不同,本栏会花大量篇幅介绍思想性的内容(也包括对理解小波分析的重要定理的证明),力图使得非数学专业的同学也可以理解小波分析的思想。

    本专栏在构建过程中参考了多本教材和网络资料,主要教材列在了下面的参考文献中。


小波分析基础入门

  诚然,想要学好小波分析,泛函和实变都是必需的,但对于理解其思想和应用而言,我认为一些简单的线性空间、基和傅里叶分析的内容就足够了。
  我们从空间为切入点,然后了解最简单的小波-Haar小波,主要是为了认识小波空间。之后,我们学习连续小波,从吸收小波一直到正交小波,最后再次回到Haar小波上,学习离散Haar小波分析。
  这部分内容主要在于初步认识小波变换,我们需要认识到,小波分析的最重要条件是,当信号变换到小波空间后,能够进行逆变换——这是小波分析有效性的保证。

· 小波与空间


· 从Haar小波认识小波空间


· 初识连续小波变换


· Haar离散小波分析



多分辨分析与小波变换计算

    1986年,Y.Meyer发现了构造正交小波的基本方法,并构造出香农小波。同年,S.MallatY.Meyer提出多分辨分析的基本理论和方法。后来,直到1988年,I.Daubechies提出了构造层级小波的方法,多分辨分析与小波构造理论基本完全确立。
    本栏目的内容是小波分析的重中之重,也是理解后面更复杂理论与算法的基础,所以我用了较多的时间和精力,力图写好每一步证明过程和我能想到的各种理解和分析的角度。

· 初识多分辨分析


· 多分辨分析与空间投影


· 多分辨分析的频域分析


· 多分辨分析与Haar小波


· 香农小波



Daubechies小波分析

    1988年,Daubechies基于多项式方式提出构造紧支撑层级小波的方法。

· 初识Daubechies小波


· 构造Daubechies小波母函数


· 离散Daubechies小波分析


· 信号的Daubechies小波分解与重构


· 信号的初次投影




Python小波分析

在小波分析中会常用到Python来显示和分析,所以我们本栏目介绍如何使用Python做小波分析,以及如何理解Python小波变换得到的结果。

· Python连续小波分析

· Python离散小波分析




小波的快速算法描述与代码描述

    小波在计算中,有许多快速算法,其中最常见的就是Mallat快速算法和多孔算法。S.Mallat于1989年提出小波变换的快速算法(即Mallat算法)。而后,M.Shen于1992年提出小波变换的多孔算法(在高、低通滤波器中插入适当数量的零点),又称为非抽取小波基算法。
    本节建立在多分辨分析的内容之后,描述小波的快速计算方式。对于一般的用户而言,本小节可以完全跳过;而如果想了解一些更详细的方面,以及深入了解卷积+抽取操作,那么本节是必不可少的学习内容。

· Mallat快速小波算法


· 小波的多孔算法



二维小波分析

    本节介绍小波分析中的二维小波分析,通过直接定义或张量积的形式得到二维小波分析式。




小波包分析

    1992年,Coifman和Wickerhauser提出了小波包变换——其实从多分辨分析的方式引出小波包分析非常自然。小波包变换不仅包含了小波分析中将低通子带进行分解的功能,还包含了将高通子带进行分解的能力,因此,我们就可以将注意力集中到任意感兴趣的频段。




双正交小波分析





参考文献

[RuchWaveletTheory] Ruch D K ,  Fleet P V .  Wavelet Theory: An Elementary Approach with Application[M]. John Wiley & Sons, 2009.
[TenLecturesDB] Ingrid Daubechies.  小波十讲[M]. 国防工业出版社, 2004.
[RanQiwenBook]  冉启文.  小波变换与分数傅里叶变换理论及应用[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2001.
[RanQiwenCurriculum]  小波分析与应用   哈工大理学院课程 冉启文 
[MallatWTSP] Mallat S G . A Wavelet Tour of Signal Processing[M]. China Machine Press, 2010.
[MixEOW] Mix, Dwight F. , and  K. J. Olejniczak . "Elements of Wavelets for Engineers and Scientists (Mix/Elements of Wavelets) || Wavelet Transform." (2003):145-169.
[MeyerWAO]  Y.迈耶. 小波与算子:小波.第一卷[M]. 世界图书出版公司, 1992.
[PercivalTSA]  Percival, DonaldB.   Wavelet methods for time series analysis =:时间序列分析的小波方法[M]. China Machine Press, 2004.
[ChengzhiliWTA]  成礼智, 王红霞, 罗永.  小波的理论与应用[M]. 科学出版社, 2004.

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